Reine & Angewandte MathematikEntry № 03.07

Quadratische Gleichungen Rechner — Mitternachtsformel & pq-Formel

Löst quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 exakt mit Angabe der Diskriminante und aller reellen bzw. komplexen Nullstellen.

Quadratische Gleichungen & Nullstellen-Rechner

Standard Form: 1x² - 5x + 6 = 0

a (coeff x²)

b (coeff x)

c (constant)

Discriminant (Δ = b² - 4ac)1

Parabola Vertex (h, k)(2.50, -0.25)

Roots (x-intercepts)

x₁ = 3.00, x₂ = 2.00

Zwei verschiedene reelle Nullstellen

Parabola Curve f(x)Upwards (Min)

Quadratic formula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Beliebte Suchbegriffe:Mitternachtsformel Rechner mit Rechenwegpq Formel Nullstellen bestimmen

Mathematische Formel & HerleitungMathematische Standardnotation

Formelherleitung & mathematische Grundlagen

Untersucht die Diskriminante D = b² - 4ac: Bei D > 0 existieren zwei reelle Lösungen, bei D = 0 eine Doppellösung, bei D < 0 komplexe Wurzeln.

Mathematische Standardnotation

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Dokumentierte Formel mit nachvollziehbarer Herleitung und Referenzwerten.

Variablendefinitionen & Maßeinheiten

Quadratischer Koeffizient (a)

Leitkoeffizient ungleich null, der die Krümmung und Öffnung der Parabel bestimmt.

Linearer Koeffizient (b)

Koeffizient des linearen Terms, der die Steigung am y-Achsenabschnitt steuert.

Konstanter Summand (c)

Absolutes Glied, das den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse angibt.

Discriminant

b² − 4ac determines root nature.

Schritt-für-Schritt-Berechnungsbeispiel

Solving x² − 5x + 6 = 0

Finding roots and vertex coordinates for a = 1, b = -5, c = 6.

Discriminant D

(-5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

D > 0 indicates two distinct real roots

Root 1

[-(-5) + √1] / (2 × 1) = (5 + 1) / 2 = 3

First real root

Root 2

[-(-5) − √1] / (2 × 1) = (5 − 1) / 2 = 2

Second real root

Parabola Vertex

h = -(-5)/(2×1) = 2.5 ; k = -1/(4×1) = -0.25

Vertex at (2.5, -0.25)

Fazit: The roots are x₁ = 3 and x₂ = 2 with parabola minimum vertex at (2.5, −0.25).

Detaillierte Fachanalyse

Die Diskriminante D und die geometrische Lage von Parabel-Nullstellen

Für die allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 entscheidet die Diskriminante D = b² - 4ac über die Anzahl der reellen Nullstellen: Bei D > 0 existieren zwei reelle Schnittpunkte, bei D = 0 berührt der Scheitelpunkt die x-Achse (Doppelnullstelle), und bei D < 0 existiert ein konjugiert komplexes Lösungspaar.

In Deutschland wird neben der Mitternachtsformel häufig die p-q-Formel x = -p/2 ± √((p/2)² - q) für normierte quadratische Gleichungen (x² + px + q = 0) gelehrt.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Häufig gestellte Fragen zu Quadratische Gleichungen Rechner (Mitternachtsformel)

Was passiert, wenn der Koeffizient a = 0 ist?

Wenn a = 0 ist, liegt keine quadratische Gleichung mehr vor, sondern eine lineare Gleichung bx + c = 0 mit der eindeutigen Lösung x = -c/b.

Was beschreibt der Scheitelpunkt einer Parabel?

Der Scheitelpunkt ist das absolute Extremum (Tiefpunkt bei a > 0 bzw. Hochpunkt bei a < 0) mit den Koordinaten x = -b/(2a).

Quadratische Gleichungen Rechner — Mitternachtsformel & pq-Formel

Formelherleitung & mathematische Grundlagen

Variablendefinitionen & Maßeinheiten

Solving x² − 5x + 6 = 0

Die Diskriminante D und die geometrische Lage von Parabel-Nullstellen

Häufig gestellte Fragen zu Quadratische Gleichungen Rechner (Mitternachtsformel)

Was passiert, wenn der Koeffizient a = 0 ist?

Was beschreibt der Scheitelpunkt einer Parabel?

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